SISTEMA DE NUMERACION DE LA COMPUTADORA

Estructura lógica de la computadora

Se denomina estructura lógica de la computadora a todos aquellos programas que se requieren para las funciones del sistema de cómputo; desde los programas de BIOS, que permiten configurar la computadora cada vez que se enciende o reinicializa, hasta los sistemas operativos o de control, los controladores de dispositivos y las aplicaciones de propósito específico  como procesadores de texto, manejadores de hojas de cálculo y base de datos, programas de creación y edición de gráficos etc.

Sistemas de numeración

Los números constituyen la base del software, ya que la comunicación más elemental con cualquier computadora se realiza mediante el sistema numérico denominado  binario. A partir de los unos y ceros del sistema binario se codifican y decodifican de diversas maneras los números para producir utilizando el álgebra de Boole y operadores lógicos y matemáticos, las instrucciones que son capaces de entender las computadoras. Es conveniente, por lo tanto, comenzar este capítulo con el tema de los sistemas de numeración.

Se llama sistema de numeración al conjunto de reglas que permiten representar conceptos matemáticos abstractos mediante una serie bien definida de símbolos denominados números. Los números representan una cierta cantidad de unidades. Por ejemplo, el sistema decimal, que se utiliza mundialmente, se compone de diez símbolos distintos conocidos como dígitos, porque los dedos fueron la base natural del sistema. Su particularidad es que cada digito adopta un valor diez veces mayor dependiendo de su posición a la izquierda de la unidades.

Los sistemas de numeración pueden divertirse según distintos criterios, por ejemplo si son posicionales o no, y también al respecto al número tomado como base del sistema es decir, la cantidad de símbolos diferentes que utilizan.

Los posicionales son aquellos en que cada dígito adopta un valor diferente conforme a la posición que ocupa. El cambio de valor es tantas veces mayor como lo es el valor de las base del sistema. Los no posicionales son los que para cada dígito asignan un valor intrínseco, como en las numeraciones egipcia o romana.

Respecto a la base, existen sistemas fundados en el 2 (binario), el 8 (octal9, el 16 (hexadecimal), y otros que ya no se utilizan mucho como los que se basan en el 12 (duodecimal) o el 60 (sexagesimal).

Durante muchos siglos se utilizo el sistema numérico de base 60 creado en el esplendor de la cultura mesopotámica. No obstante que el número 60 es demasiado grande para usarse como base, puede dividirse entre 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 y 60, lo cual significa que los resultados de los problemas aritméticos  serán pares más frecuentemente que en sistema de base 10. Todavía hoy utilizamos este sistema para dividir las horas en 60 minutos y cada unos de estos a su vez en 60 segundos; también el círculo en grados, minutos y segundos de ángulo.

Otro sistema numérico que fue muy común por su simplicidad aritmética es el duodecimal (de base 12). Se usó principalmente para transacciones comerciales, y todavía persiste en la medición de ingredientes farmacéuticos o de cocina y algunas de sus unidades son la docena, la gruesa (144 o doce docenas), etc.

 El origen de los números

El hombre primitivo tuvo la necesidad de realizar cuentas y algunas operaciones aritméticas utilizando sus dedos, piedras o palos, relacionados con estos objetos con cabras, ganado o cualquier otra de sus pertenencias. Esta y otras necesidades de aquellos hombres nómadas que dejaban de serlo para convertirse en sedentarios cazadores, pescadores, agricultores y finalmente comerciantes, los llevaron a desarrollar instrumentos  auxiliares para realizar cálculos.

De esta manera, el hombre hubo de inventar los números, los sistemas de numeración y algunas reglas o normas lógicas que, correctamente aplicadas, les permitieran representar los conceptos matemáticos mediante símbolos. Cada una de las civilizaciones que se venían desarrollando paralelamente en diferentes regiones de la tierra, creó sistemas de numeración utilizando símbolos diferentes; sin embargo estudiando cada uno de ellos se pueden observar características comunes.

Las primeras señales de lo que parecen los vestigios de los sistemas primitivos de numeración, las encontramos en antiguos huesos que muestras marcas paralelas, como indicando días transcurridos, por ejemplo. Las distintas civilizaciones han utilizado diversos medios para registrar tanto su escritura como su numeración, y van desde las tablillas sumerias, los papiros egipcios, los cordones anudados de los incas, hasta el sistema chino que consistía en una tabla aritmética (swan-pan) que ya permitían realizar las operaciones básicas mediante palillos dispuestos de diferentes maneras sobre un tablero cuadriculado parecido al tablero de ajedrez.

Período o Año	Evento
30000 a.C	Se ha encontrado en el centro de Europa huesos tallados con una especie de números que datan del paleolítico
4000 a.C	Existen pinturas cuneiformes rupestres de los sumerios
3400 a.C	En Grecia se inventa un símbolo para representar el número 10
2600 a.C	Desarrollo del ábaco hace más de 4500 años en el Medio Oriente
1900 a.C	Descubrimiento del teorema de Pitágoras y las tablas de multiplicar en Mesopotamia.
1700 a.C	Uso del alfabeto fenicio de 22 letras
1350 a.C	Uso de decimales en China
876 a.C	Primera referencia al número cero en la India
260 a.C	Los mayas desarrollan un sistema numérico de base 20
105 d.C	Invento del papel en China
1454 d.C	Invención de la imprenta que utilizaba tipos móviles de metal de Gutenberg.
1480 d.C	Creación de los diseños revolucionarios de Leonardo da Vinci
1614-2000	De los huesos de Napier hasta las computadoras de la sexta generación, temas tratados en el Capítulo 1.

El invento más sobresaliente de la antigüedad se dan en el Oriente Medio, y es el ábaco, palabra que significa tabla lisa cubierta de arena. Este primer instrumento de cálculo se compone de una tablilla que contiene varias sartas de cuentas, que representan las unidades, decenas, etc., y permite realizar fácilmente, con una velocidad adecuada, operaciones aritméticas sencillas. El uso de ábaco se extendió con el tiempo a otras culturas; los romanos lo utilizaron ampliamente. El ábaco romano consistía en cuentas de piedra caliza o mármol (del latín calx) que se deslizaban sobre ranuras en una superficie plana; a estas pequeñas cuentas se les llamo calculi, plural de calculus, de donde proviene el término cálculo.

Sistemas de numeración de la antigüedad

Entre los sistemas numéricos más destacados de la antigüedad cabe mencionar los de las culturas Sumeria, Egipcia, Hindú, Griega, Romana y Maya. N o todos ellos estaban basados en el número 10, como el maya, que tenía como base el número 20.  A la cultura griega debemos muchos de los nombres de los números, y a la árabe, la grafía actual de ellos por lo cual se les llama números arábigos.

Numeración Egipcia

La civilización egipcia se desarrollo sorprendentemente en el delta del río Nilo hace aproximadamente 4500 años, época en la cual construyeron las pirámides, obras de ingeniería que requirieron avanzados conocimientos de matemáticas. Los egipcios utilizaron el sistema duodecimal para la medición del tiempo, y el decimal, basado en jeroglíficos, para las cifras del uno al diez, cien, mil, diez mil, cien mil, y un millón. Algunos de los símbolos se reproducen en la figura 3.2.

Aunque no conocieron el cero, se han encontrado gran cantidad de papiros, como los de Rhind que contienen problemas de aritmética y geometría relativos a contabilidad, cálculos mercantiles, agrimensura, observaciones astronómicas, construcción y algunos otros temas.

Numeración maya

Los mayas emplearon un sistema de numeración sobresaliente en muchos aspectos, ya que aparte de emplear la noción posicional descubrieron el cero mucho tiempo antes que se conociera en Europa. La base de su sistema fue por lo que necesitaban veinte signos diferentes para expresar las distintas cantidades. En la figura 3.3 vemos los símbolos que representan los números del 10 al 20, donde se aprecia claramente el uso de cero.

En el sistema decimal la notación posicional va de derecha a izquierda; en cambio, en el maya se escribe de abajo hacia arriba utilizando tres símbolos; el punto, la raya y el cero maya.

Numeración romana

Los romanos utilizaron un sistema de numeración basado en siete letras del alfabeto latino: I= uno, V = cinco, X = diez,  L = cincuenta, C = cien, D= quinientos, y  M =mil. El valor de las letras está bien determinado y no depende de su posición únicamente se deben tomar en cuenta unas cuantas reglas para su correcta escritura:

a)      Nunca se anteponen ni pueden repetirse las letras V o D.

b)      Los valores de las letras iguales suman, pero no pueden emplearse más de 3 veces seguidas.

c)       Si se coloca una letra de menor valor a la derecha de la otra, se suman los dos valores.

d)      Si se coloca una letra de menor valor a la izquierda la otra, resta de ella su valor.

e)      Una letra colocada entre dos del mismo valor, resta su valor de la última.

f)       Si se pone una línea horizontal encima de una cantidad ésta se hace mil veces mayor; con otra, se incrementa nuevamente en mil el valor, y así sucesivamente.

La numeración romana se utilizó ampliamente en Europa hasta mediados del siglo XVII, y aún en nuestros días la seguimos utilizando en carátulas de relojes, en fechas, para numerar capítulos de libros, tomos de una obra, para distinguir entre personajes con el mismo nombre ( Carlos IV, Carlos V ), etc.

La tabla 3.2 muestra algunos ejemplos de la escritura de números en el sistema romano:

Número romano	Equivalente Decimal
VIII	8
XXX	30
IV	4
XXXIV	34
CV	105
XC	90
XCX	190
MCMXCII	1992
XXII	22
XXII	22 000
XXII	22 000 00

Sistemas modernos de numeración

Sistema Decimal

El sistema de numeración decimal más utilizado en la actualidad es el decimal, que se caracteriza por ser básicamente posicional. En los números decimales cada posición puede interpretarse como un subconjunto de diez elementos, y cuando una posición se satura, se desplaza el elemento restante a la siguiente posición de la izquierda.

Así, cada dígito tiene un valor absoluto que indica la cantidad de unidades que lo forman, y un valor relativo que depende de su posición en el número. Por ejemplo, en el número 617 los valores absolutos de los dígitos son 6.1, 7, y sus valores relativos son 600,10 y 7, respectivamente.

En los sistemas numéricos posicionales cada dígito representa una potencia de la base; esto facilita las operaciones matemáticas y, obviamente, la conversión entre números de diferentes sistemas posicionales.

La manera de determinar la potencia que le corresponde a cada dígito es muy sencilla: se cuenta el número de dígitos 8empezando en cer9 de derecha a izquierda y se multiplica el primer dígito de la izquierda por la base elevada al número que le haya correspondido, y así sucesivamente.

Por ejemplo, el número decimal 1684 equivale a:

(1 x 10³ ) + (6 x 10²) + (8 x 10¹) + (4 x 10⁰)

100+600+80+4 =1684

Veamos ahora otro ejemplo de la aplicación de esta regla: tenemos el numero octal 463, que representado en potencias de 8 se ve así:

(4 x 8²) + (6 x 8¹) + (3 x 8⁰)

Que equivale a:

256+48+3=307 en decimal

Estamos acostumbrados a contar utilizando 10 símbolos (dígitos), lo cual tal vez se deba simplemente a la facilidad de representar objetos con los dedos de las manos. A este método se le llama decimal precisamente porque está basado en el número 10, pero no es indispensable que un sistema de números  extensos en grandes cantidades, sobre todo en esta época en que la computadora se ha hecho indispensable.

El mejor ejemplo de lo anterior es el método binario utilizado en las computadoras y las comunicaciones. El término binario proviene del latín binarius, que significa dos a la vez, y precisamente el sistema se representa con el mínimo posible de símbolos, o sea dos (uno y cero). No podría ser menor porque con un solo símbolo sería imposible establecer distinción alguna entre elementos diferentes. En cambio, con dos es posible describir dos situaciones antagónicas, por ejemplo encendido y apagado, arriba y abajo, activado y desactivado, si y no, o cualquier otro par de contrarios.

Lo anterior se adapta perfectamente a las condiciones que impone la arquitectura básica de las computadoras. Los componentes fundamentales de estos aparatos son los dispositivos bistables (flip-flops), es decir, los elementos electrónicos que pueden adoptar solamente dos estados estables y que, por tanto, son capaces de representar las dos situaciones de equilibrio mencionadas.

Sistema binario

 El sistema binario es un sistema numérico de base 2 que utiliza solamente dos símbolos para representar números y se maneja con reglas mucho más sencilla que las del sistema decimal.

Aplicando la regla de las potencias para la conversión a decimal, se puede ver el caso del sistema binario se facilita micho más porque los dígitos (que siempre serán unos o ceros)  deben multiplicarse por dos, que es la base del sistema, elevado a la potencia correspondiente.

Por ejemplo, el número binario 10011 se representa por:

(1 x 2⁴ ) + (0 x 2³ ) + (0 x 2² ) + (1 x 2¹ ) + (1 x 2⁰ )

16 + 0 + 0 + 2 + 1= 19 decimal

Y dado que la multiplicación por cero siempre da cero, podemos facilitar la conversión omitiendo todos los ceros que aparezcan:

16 + 2 + 1 = 19 decimal

También, el binario 1101 equivale a:

(1 x 2²) + (1 x 2² ) + (0 x 2¹ ) + (1 x 2⁰ )

8 + 4 + 1 = 13 decimal

Naturalmente, esto se facilita si se memorizan las potencias del número 2, como se muestra en la tabla 3.3.

Para convertir números decimales a cualquier otro sistema de numeración se utiliza el método conocido como de los residuos. Se trata de tan solo de dividir el número entre la base del sistema deseado y anotar enseguida el residuo, dividir el cociente resultante entre la base y volver a anotar el residuo, y así sucesivamente; por último se leen los residuos en origen inverso.